本山人掐指一算,本届世界杯冠军是……

每逢欧洲杯、世界杯等国际大赛,各种关于比赛结果或冠军归属的预测便纷至沓来。其中既有“章鱼保罗”这样的玄学加持,也有Penn(2022)等学者这样的“一本正经的胡说八道”。随着今天凌晨H组最后两场小组赛终场哨响,本届世界杯十六强对阵名单也已然确定。上半区荷兰、阿根廷、巴西等豪强逐鹿,下半区英法葡西上演欧洲内战。相信经过小组赛的严格“筛选”,目前仍旧在天台上傲然屹立、俯瞰楼下众多炮灰的一定都是赌中好手、盘口宠儿。秉持着看热闹不嫌事大的原则,本人第一时间焚香沐浴、开坛做法,祭出本门不外传的统计绝学,来预测一下淘汰赛阶段的走向,以期为诸位的“求财之路”提供可资借鉴的参考。  …

1   计量理论

离散选择模型中固定随机误差项方差的原因及后果

0. 引言 实证分析中,对于被解释变量为离散【注:如表示某结局是否发生的二值变量、表示数种选择方案的无序多分类变量、表示幸福程度的有序多分类变量(序数变量)等】的情况,研究者往往采用“离散选择模型(Discrete Choice Model)”对解释变量与被解释变量间的关系加以刻画。例如,最为我们所熟稔的Probit模型和Logistic模型便均为离散选择模型。然而,许多人或许未曾注意过,Probit模型和Logistic模型的参数识别需要满足一个隐含假设,即随机误差项的方差被固定为某一具体的值。基于此识别条件,随之而来地,是一些导致不利于我们分析和解读模型估计结果的问题。不失一般性,后文的讨论以被解释变量为二值的情形为例。 1. 线性概率模型 在涉及本文的主题之前,我们不妨先讨论一下对于二值被解释变量采用线性模型回归时的情况。考虑如下回归模型:…

0   计量理论

样本均值的标准误估计量有偏的一个证明

0. 引言 国内常用的概率统计教材在介绍抽样分布的章节基本均会涉及样本均值,但是至多给出样本均值的抽样方差(Sampling Variance)估计量是无偏且一致的证明后便戛然而止。然而,一个有趣的事实是,样本均值的标准误估计量是有偏的【注:样本均值的标准误的估计量本身是一个随机变量,因此它也具有一个抽样分布以及标准误。回忆在CLM假定下,OLS估计量在减去真实值且除以其标准误后服从一个自由度为n-k(包含截距项)的t分布的情形。之所以如此,正是由于OLS估计量的标准误本身就是一个随机变量,因为随机误差项的方差是基于回归残差的无偏估计】。当然,这一事实并不会造成多末严重的影响,因为样本均值的标准误估计量依然是一致的,且收敛到真实值的速度非常快。不过,笔者最近在阅读Aronow & Miller(2019)的著作时,发现作者利用詹森不等式(Jensen's…

0   计量理论

弱大数定律与中心极限定理

0. 引言 弱大数定律(The Weak Law of Larger Numbers,WLLN)与中心极限定理(The Central Limit…

0   计量理论

残差中心化:克服多重共线性

实证研究中,我们经常需要纳入解释变量的高次项【注:主要是二次项和交乘项】来捕捉潜在的非线性效应。然而,纳入解释变量的高次项将增大模型的多重共线性(Multicollinearity),以致参数估计值不稳定。常见的解决方式(如果你确实想要解决它的话)是对高次项进行总平减,而且一般来说,该方法已经足以达到目的。不过,总平减后的高次项依然或多或少与解释变量存在着相关性。鉴于此,本文介绍一种由Lance(1988)提出的更加有效的方法——残差中心化(Residual Centering)。残差中心化是一种两步估计法:首先,将高次项对解释变量回归获得残差;然后,将残差作为新的解释变量(代表高次项)纳入模型。基于OLS解释变量与残差正交的性质,所以第二步回归中的高次项残差与解释变量不相关。  …

1   计量理论

固定效应VS随机效应,以及Mundlak Approach

“固定效应(Fixed Effects)”和“随机效应(Random Effects)”,一对熟悉又陌生的词汇。一方面,我们经常在各种统计方法中见到它们的身影;另一方面,它们在不同的方法语境中所指代的含义却又不尽相同。一种理解二者之间共性与差异的思路是,将它们置于多水平模型(Multilevel Model,MLM)的框架下加以考察。举例而言,仅考虑单因素的情况,在方差分析(ANOVA)的语境下,固定效应模型指模型的截距项被设定为总体参数,作为模型中固定不变的部分,反映了不同组之间的结构性差异。随机效应模型则指模型的截距项被设定为随机变量,在不同组之间存在变异。由于方差是衡量随机变量变异程度的特征量,所以ANOVA中的随机效应模型也被称作“方差成分模型(Variance Component Model)”。将二者置于MLM的框架下,固定效应模型实质上是一般线性模型(General…

0   计量理论

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